Quanto tempo?

Abaixo, uma versão avançada dos problemas de piscina e torneiras, envolvendo cálculo de tempo:

"Uma piscina se enche de água com a ajuda de duas torneiras. Inicialmente, a primeira torneira permaneceu aberta uma terça parte do tempo necessário para encher a piscina valendo-se somente da segunda torneira. A seguir, a segunda torneira, ao contrário, permaneceu aberta uma terça parte do tempo exigido para que apenas a primeira torneira encha a piscina. Feito isso, a piscina foi preenchida até os 13/18 de sua capacidade.
Se, mantendo abertas ambas as torneiras ao mesmo tempo a piscina se enche em 3 horas 36 minutos, calcule o tempo necessário para enchê-la, fazendo uso de cada torneira separadamente."

Solução:
Suponhamos que as capacidades das torneiras sejam q₁ e q₂ (em litros/min). Assim, a primeira torneira derrama q₁ litros d'água em cada 1 min, e a segunda, q₂ litros em cada 1 min.
Suponhamos, também, que o volume total da piscina seja v (em litros).
Assim, os tempos que cada uma das torneiras leva para encher a piscina separadamente são (em min):

t_{1 =} v/q_{1 ,}    t_{2 =} v/q_{2          (1)}
Através da primeira condição do problema, chegamos à seguinte equação (o símbolo * indica multiplicação):

q₁*(1/3)*t₂ + q₂*(1/3)*t₁ = (13/18)*v
(1/3)*(q₁t₂ + q₂t₁) = (13/18)*v
q₁t₂ + q₂t₁ = (13/6)*v
Usando os valores de t₁ e t₂ da equação (1) e substituindo-os na relação acima, chegamos em:

q₁*(v/q₂) + q₂*(v/q₁) = (13/6)*v
v*(q₁/q₂ + q₂/q₁) = (13/6)*vq₁/q₂ + q₂/q₁ = 13/6

Multiplicando ambos os membros da equação por q₂/q₁ chegamos à seguinte equação de 2º grau:

(q₂/q₁)² - (13/6)*(q₂/q₁) + 1 = 0

cujas raízes são q₂/q₁ = 3/2 , e q₂/q₁ = 2/3.

Agora, através da segunda condição do problema, escrevemos a equação:

v = (3*60 + 36)*(q₁ + q₂) = 216*(q₁ + q₂)

Usando a relação acima na equação (1), temos:

t₁ = 216*(q₁ + q₂) / q₁t₂ = 216*(q₁ + q₂) / q₂
Agora, basta desenvolver o finalzinho do cálculo e "partir pro abraço". Vejamos:

t₁ = 216*(1 + q₂/q₁) = 216*(1 + 3/2) = 540 min (9 horas)
t₂ = 216*(q₁/q₂ + 1) = 216*(2/3 + 1) = 360 min (6 horas)

Há, evidentemente, uma segunda solução (não foi estipulada qual das torneiras é a "mais lenta"):

t₁ = 6 horas ,    t₂ = 9 horas 

Resposta: Portanto, uma das torneiras leva 6 horas para encher sozinha a piscina, enquanto que a outra leva 9 horas.


 

Relação de inclusão e implicação lógica

Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. De forma geral, se um conjunto A, cujos elementos possuem uma propriedade p está contido em um conjunto B, cujos elementos possuem uma propriedade q, dizemos que todos os elementos de A são também elementos do conjunto B. Dessa forma, é correto dizermos que cada um dos elementos de A possui a propriedade q, característica dos elementos que formam o conjunto B. Daí, surge a seguinte notação:

p ⇒ q (lê-se: p implica q ou p acarreta q)

Vejamos um exemplo:

Vamos considerar dois conjuntos, A e B, em que:

A = {x | x é natural}

B = {x | x é racional}

Designemos por p e q as propriedades dos conjuntos A e B, respectivamente. Assim, temos:

p: x é natural
q: x é racional

podemos, assim, escrever a implicação lógica:

p ⇒ q , pois de fato:

"Se x é um número natural, então x é um número racional."
"Ser um número natural implica ser um número racional."

Concluindo, então, podemos escrever:

Seja A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:

p ⇒ q

estamos dizendo que A ⊂ B.

A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:

- se p, então q;
- p é condição suficiente para q;
- q é condição necessária para p.

 De fato, no exemplo anterior, podemos escrever:

"Ser número natural é condição suficiente para ser número racional." ou ainda:
"Ser número racional é condição necessária para ser número natural."

Mais um exemplo:

No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:

- p: n é um número natural que termina com 3;
- q: n é um número natural ímpar.

Então A = {3, 13, 23, 33, 43, ...},
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} e  p ⇒ q ou A ⊂ B.

Sobre "silogismos" e introdução à "implicação lógica"

Sabe-se que, dados dois conjuntos A e B, a relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão.
A relação de inclusão possui três propriedades básicas, a saber: propriedade reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Esta última é especialmente importante para os estudos que envolvem a implicação lógica, os silogismos e o método dedutivo.

Vejamos: Dados os conjuntos P, B e S quaisquer de um determinado universo U, temos:

- Se P ⊂ B e B ⊂ S, então P ⊂ S (propriedade transitiva)

Todos os conjuntos representam ou são representados por uma propriedade específica dos seus elementos.
Vamos supor, assim, que o conjunto P é formado exclusivamente por paulistas (essa é a propriedade dos elementos de P); o conjunto B é formado pelos brasileiros (propriedade do conjunto B); e o conjunto C é constituído por todos os sul-americanos (propriedade de C).

Assim, temos:

- P: conjunto dos paulistas
- B: conjunto dos brasileiros
- S: conjunto dos sul-americanos

Todo paulista é brasileiro (P ⊂ B).
Todo brasileiro é sul-americano (B ⊂ S).Então, todo paulista é sul-americano (P ⊂ S).  
Vale, portanto, a propriedade transitiva:

Se P ⊂ B e B ⊂ S, então P ⊂ S.

A propriedade transitiva das relações de inclusão vista acima é fundamental nas deduções (método dedutivo, que será comentado em outro post).
No campo da lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo.

Essa forma de raciocínio lógico parte geralmente de duas premissas (= princípios) iniciais, tidas como verdadeiras, para a partir delas chegar a uma terceira, igualmente verdadeira, que recebe o nome de conclusão (é a dedução). Eis um exemplo:

Todos os metais são bons condutores e o cobre é um metal (premissas). Então, o cobre é um bom condutor (conclusão/dedução).

É, portanto, exatamente o que estávamos fazendo antes, nos outros exemplos.
As relações de inclusão, a propriedade transitiva, o silogismo... são conceitos entrelaçados no tecido da implicação lógica, sobre a qual falaremos um pouco, logo a seguir.