Soma 1

A resolução desse problema de soma é bem curiosa e interessante. Vejamos.

Determinar o valor de S:

S = 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/98*99 + 1/99*100

OBS.: O símbolo "*" indica multiplicação.

RESOLUÇÃO:

Todas as parcelas da soma S são do tipo:

1/n(n + 1)

É conveniente, então, notarmos que:

1/n(n + 1) = (n + 1 - n) /n(n + 1) = (n + 1)/n(n + 1) - n/n(n + 1) = 1/n - 1/n+1

Portanto, 1/n(n + 1) = 1/n - 1/n+1

Reescrevemos, então, a soma S da seguinte forma:

S = 1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/98 - 1/99 + 1/99 - 1/100
S = 1/1 - 1/100
S = 0,99

Quanto tempo?

Abaixo, uma versão avançada dos problemas de piscina e torneiras, envolvendo cálculo de tempo:

"Uma piscina se enche de água com a ajuda de duas torneiras. Inicialmente, a primeira torneira permaneceu aberta uma terça parte do tempo necessário para encher a piscina valendo-se somente da segunda torneira. A seguir, a segunda torneira, ao contrário, permaneceu aberta uma terça parte do tempo exigido para que apenas a primeira torneira encha a piscina. Feito isso, a piscina foi preenchida até os 13/18 de sua capacidade.
Se, mantendo abertas ambas as torneiras ao mesmo tempo a piscina se enche em 3 horas 36 minutos, calcule o tempo necessário para enchê-la, fazendo uso de cada torneira separadamente."

Solução:
Suponhamos que as capacidades das torneiras sejam q₁ e q₂ (em litros/min). Assim, a primeira torneira derrama q₁ litros d'água em cada 1 min, e a segunda, q₂ litros em cada 1 min.
Suponhamos, também, que o volume total da piscina seja v (em litros).
Assim, os tempos que cada uma das torneiras leva para encher a piscina separadamente são (em min):

t_{1 =} v/q_{1 ,}    t_{2 =} v/q_{2          (1)}
Através da primeira condição do problema, chegamos à seguinte equação (o símbolo * indica multiplicação):

q₁*(1/3)*t₂ + q₂*(1/3)*t₁ = (13/18)*v
(1/3)*(q₁t₂ + q₂t₁) = (13/18)*v
q₁t₂ + q₂t₁ = (13/6)*v
Usando os valores de t₁ e t₂ da equação (1) e substituindo-os na relação acima, chegamos em:

q₁*(v/q₂) + q₂*(v/q₁) = (13/6)*v
v*(q₁/q₂ + q₂/q₁) = (13/6)*vq₁/q₂ + q₂/q₁ = 13/6

Multiplicando ambos os membros da equação por q₂/q₁ chegamos à seguinte equação de 2º grau:

(q₂/q₁)² - (13/6)*(q₂/q₁) + 1 = 0

cujas raízes são q₂/q₁ = 3/2 , e q₂/q₁ = 2/3.

Agora, através da segunda condição do problema, escrevemos a equação:

v = (3*60 + 36)*(q₁ + q₂) = 216*(q₁ + q₂)

Usando a relação acima na equação (1), temos:

t₁ = 216*(q₁ + q₂) / q₁t₂ = 216*(q₁ + q₂) / q₂
Agora, basta desenvolver o finalzinho do cálculo e "partir pro abraço". Vejamos:

t₁ = 216*(1 + q₂/q₁) = 216*(1 + 3/2) = 540 min (9 horas)
t₂ = 216*(q₁/q₂ + 1) = 216*(2/3 + 1) = 360 min (6 horas)

Há, evidentemente, uma segunda solução (não foi estipulada qual das torneiras é a "mais lenta"):

t₁ = 6 horas ,    t₂ = 9 horas 

Resposta: Portanto, uma das torneiras leva 6 horas para encher sozinha a piscina, enquanto que a outra leva 9 horas.


 

Relação de inclusão e implicação lógica

Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. De forma geral, se um conjunto A, cujos elementos possuem uma propriedade p está contido em um conjunto B, cujos elementos possuem uma propriedade q, dizemos que todos os elementos de A são também elementos do conjunto B. Dessa forma, é correto dizermos que cada um dos elementos de A possui a propriedade q, característica dos elementos que formam o conjunto B. Daí, surge a seguinte notação:

p ⇒ q (lê-se: p implica q ou p acarreta q)

Vejamos um exemplo:

Vamos considerar dois conjuntos, A e B, em que:

A = {x | x é natural}

B = {x | x é racional}

Designemos por p e q as propriedades dos conjuntos A e B, respectivamente. Assim, temos:

p: x é natural
q: x é racional

podemos, assim, escrever a implicação lógica:

p ⇒ q , pois de fato:

"Se x é um número natural, então x é um número racional."
"Ser um número natural implica ser um número racional."

Concluindo, então, podemos escrever:

Seja A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:

p ⇒ q

estamos dizendo que A ⊂ B.

A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:

- se p, então q;
- p é condição suficiente para q;
- q é condição necessária para p.

 De fato, no exemplo anterior, podemos escrever:

"Ser número natural é condição suficiente para ser número racional." ou ainda:
"Ser número racional é condição necessária para ser número natural."

Mais um exemplo:

No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:

- p: n é um número natural que termina com 3;
- q: n é um número natural ímpar.

Então A = {3, 13, 23, 33, 43, ...},
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} e  p ⇒ q ou A ⊂ B.

Sobre "silogismos" e introdução à "implicação lógica"

Sabe-se que, dados dois conjuntos A e B, a relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão.
A relação de inclusão possui três propriedades básicas, a saber: propriedade reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Esta última é especialmente importante para os estudos que envolvem a implicação lógica, os silogismos e o método dedutivo.

Vejamos: Dados os conjuntos P, B e S quaisquer de um determinado universo U, temos:

- Se P ⊂ B e B ⊂ S, então P ⊂ S (propriedade transitiva)

Todos os conjuntos representam ou são representados por uma propriedade específica dos seus elementos.
Vamos supor, assim, que o conjunto P é formado exclusivamente por paulistas (essa é a propriedade dos elementos de P); o conjunto B é formado pelos brasileiros (propriedade do conjunto B); e o conjunto C é constituído por todos os sul-americanos (propriedade de C).

Assim, temos:

- P: conjunto dos paulistas
- B: conjunto dos brasileiros
- S: conjunto dos sul-americanos

Todo paulista é brasileiro (P ⊂ B).
Todo brasileiro é sul-americano (B ⊂ S).Então, todo paulista é sul-americano (P ⊂ S).  
Vale, portanto, a propriedade transitiva:

Se P ⊂ B e B ⊂ S, então P ⊂ S.

A propriedade transitiva das relações de inclusão vista acima é fundamental nas deduções (método dedutivo, que será comentado em outro post).
No campo da lógica, ela é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo.

Essa forma de raciocínio lógico parte geralmente de duas premissas (= princípios) iniciais, tidas como verdadeiras, para a partir delas chegar a uma terceira, igualmente verdadeira, que recebe o nome de conclusão (é a dedução). Eis um exemplo:

Todos os metais são bons condutores e o cobre é um metal (premissas). Então, o cobre é um bom condutor (conclusão/dedução).

É, portanto, exatamente o que estávamos fazendo antes, nos outros exemplos.
As relações de inclusão, a propriedade transitiva, o silogismo... são conceitos entrelaçados no tecido da implicação lógica, sobre a qual falaremos um pouco, logo a seguir.

Outro de trás para a frente

      - Tá sendo um ano e tanto pros nabo - disse o fazendeiro Zeca ao seu vizinho.
      - Pois é, foi mesmo - respondeu o outro. - Quantos que tu colheu?
      - Vixe... Num me alembro muito bem, mas sei que quando levei os nabo no mercado, vendi 6/7 deles, mais 1/7 de um nabo, na primeira hora.
      - Deve tê sido compricado di cortá eles todo.
      - Não, eu vendi foi um número inteiro deles. Eu nunca corto eles não.
      - Se tu tá dizendo, Zeca. E aí?
      - Vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo, na segunda hora. Dispois vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo, na terceira hora. E pra acabá, vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo na quarta hora. Dispois voltei pra casa.
      - Por quê?
      - Porque vendi a colheita toda.
Quantos nabos Zeca levou ao mercado?

Resolução:

Este é outro problema que pode ser resolvido, sem grandes dificuldades, de trás para a frente. Vejamos.

Designemos, primeiramente, por a o número inicial de nabos que Zeca levou ao mercado. Do problema, sabemos que - na primeira hora - Zeca vendeu 6a/7, mais 1/7 de um nabo, ficando assim com um número b de nabos.

a - 6a/7 - 1/7 = b
7a/7 - 6a/7 - 1/7 = 7b/7
7a - 6a - 1 = 7b
a - 7b = 1

Na segunda hora, então, Zeca vendeu 6b/7, mais 1/7 de um nabo, ficando com um número c de nabos.

b - 6b/7 - 1/7 = c
7b/7 - 6b/7 - 1/7 = 7c/7
7b - 6b - 1 = 7c
b - 7c = 1

Na 3ª hora, foram vendidos 6c/7, mais 1/7 de um nabo, restando agora uma quantia d de nabos.

c - 6c/7 - 1/7 = d
c - 7d = 1

Por último, na 4ª hora, Zeca vendeu 6d/7, mais 1/7 de um nabo, restando finalmente nabo algum (zero nabos).

d - 6d/7 - 1/7 = 0
7d - 6d - 1 = 0
d = 1

Fazendo as substituições de baixo para cima, vem:

c - 7.1 = 1
c = 8

b - 7.8 = 1
b = 57

a - 7.57 = 1
a = 399 + 1
a = 400 nabos

Portanto, Zeca levou ao mercado 400 nabos.

Alice no país das maravilhas

"No país das maravilhas, havia um caminho com 3 poços do desejo. Alice precisava passar por este caminho, mas isso só era possível se ela pudesse fazer, pelo menos, um pedido a cada poço. Para fazer um desejo, era necessário dar ao poço R$ 13,50, mas ela não possuía dinheiro suficiente. Como Alice era extremamente perspicaz, planejou uma estratégia para conseguir seu objetivo. Dirigiu-se ao primeiro poço e negociou: "Poço dos desejos, dobre meu dinheiro e te pagarei R$ 15,20". Tendo seu pedido aceito, Alice pagou o valor prometido e seguiu adiante, fazendo a mesma proposta ao segundo e terceiro poços, sendo assim atendida e pagando também o mesmo valor prometido a cada um. Assim, Alice teve seus desejos atendidos e passou pelo caminho. Se, quando saiu do último poço, Alice não possuía mais dinheiro nenhum, qual o produto de todos os números, diferente de zero, da quantia que Alice possuía antes de fazer a proposta ao primeiro poço? Quanto ela possuía?"

Resolução:
Designemos por a a quantia inicial de Alice (antes de fazer o pedido ao 1º poço).

De acordo com o problema, o poço dobrou o dinheiro de Alice, ela pagou R$ 15,20 e ficou com uma quantia b, dirigindo-se então ao 2º poço.

2a - 15,2 = b               (1)

O 2º poço também dobrou o dinheiro de Alice (que era, agora, igual a b), ela pagou os R$ 15,20 e ficou com uma quantia c, com a qual se encaminhou em direção ao 3º e último poço.

2b - 15,2 = c               (2)

Tendo chegado ao 3º poço, o mesmo dobrou-lhe o dinheiro (que, agora, era igual a c), ela lhe deu os R$ 15,20 e ficou sem dinheiro algum (mas conseguiu, enfim, passar pelo caminho desejado!).

2c - 15,2 = 0               (3)

Eis um tipo de problema que se resolve de trás para frente.
Primeiro, resolveremos a equação (3), encontrando o valor de c. Depois, vamos à equação (2), onde substituiremos o valor de c encontrado anteriormente, para acharmos b. Por fim, substituímos o valor de b na equação (1) e encontramos o valor de a. Assim temos:

2c = 15,2
c = 15,2 /2
c = 7,6

2b - 15,2 = 7,6
2b = 15,2 + 7,6
b = 22,8 /2
b = 11,4

2a - 15,2 = 11,4
2a = 15,2 + 11,4
a = 26,6 /2
a = 13,30

Assim, concluímos que o produto dos algarismos (diferentes de zero) da quantia inicial de Alice é igual a 1 x 3 x 3 = 9, e o valor desse quantia é de R$ 13,30.

Curiosidade sobre o Problema das Pérolas do Rajá

O problema pode ser facilmente resolvido com auxílio da Álgebra Elementar. O número x de pérolas é dado pela fórmula:

                                        x = (n - 1)²

      E, nesse caso, a primeira herdeira retiraria, da herança, uma pérola e 1/n do que restasse; a 2ª herdeira retiraria duas pérolas e 1/n do que restasse. E assim por diante.
      O número de herdeiros é n - 1.
      Beremiz resolveu o problema para o caso em que n era igual a 7.

Entretanto, poderíamos alterar a fração do problema original e a resolução geral dada acima continuaria valendo. O número de pérolas continuaria sendo x = (n - 1)² e o número de filhas y = n - 1, donde n é o denominador da fração dada no problema.
      Para chegarmos à fórmula da resolução geral, podemos utilizar raciocínio análogo ao que usamos para resolver o problema. Vejamos.

x é o número total de pérolas e y é o número total de herdeiras.
Pelas condições do problema, temos que:

A filha nº 1 (mais velha) recebe ---> 1 pérola + 1/n do resto
A filha nº 2 recebe ----------------> 2 pérolas + 1/n do resto
...
A filha nº y recebe ----------------> y pérolas

Assim, escrevemos que:

x = y²                                (1)

y = 1 + (x-1)/n
y - 1 = (x-1)/n
n.(y - 1) = x - 1
ny - n - x + 1 = 0               (2)

Substituindo (1) em (2), vem:

ny - n - y² + 1 = 0
y² - ny + n - 1 = 0

a = 1               Δ = b² - 4.a.c
b = -n             Δ = (- n)² - 4.(1).(n - 1)
c = n - 1         Δ = n² - 4.(n - 1)
                      Δ = n² - 4n + 4
                      Δ = (n - 2)²

y = [-b ± √Δ] /2a 
y = [- (-n) ± √(n-2)²] /2.(1)
y = [n ± (n - 2)] /2

y' = n - 1y'' = 1

Portanto, chegamos em:

y = n - 1 filhas
x = (n - 1)² pérolas