- Tá sendo um ano e tanto pros nabo - disse o fazendeiro Zeca ao seu vizinho.
- Pois é, foi mesmo - respondeu o outro. - Quantos que tu colheu?
- Vixe... Num me alembro muito bem, mas sei que quando levei os nabo no mercado, vendi 6/7 deles, mais 1/7 de um nabo, na primeira hora.
- Deve tê sido compricado di cortá eles todo.
- Não, eu vendi foi um número inteiro deles. Eu nunca corto eles não.
- Se tu tá dizendo, Zeca. E aí?
- Vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo, na segunda hora. Dispois vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo, na terceira hora. E pra acabá, vendi 6/7 do que restou, mais 1/7 de um nabo na quarta hora. Dispois voltei pra casa.
- Por quê?
- Porque vendi a colheita toda.
Quantos nabos Zeca levou ao mercado?
Resolução:
Este é outro problema que pode ser resolvido, sem grandes dificuldades, de trás para a frente. Vejamos.
Designemos, primeiramente, por a o número inicial de nabos que Zeca levou ao mercado. Do problema, sabemos que - na primeira hora - Zeca vendeu 6a/7, mais 1/7 de um nabo, ficando assim com um número b de nabos.
a - 6a/7 - 1/7 = b
7a/7 - 6a/7 - 1/7 = 7b/7
7a - 6a - 1 = 7b
a - 7b = 1
Na segunda hora, então, Zeca vendeu 6b/7, mais 1/7 de um nabo, ficando com um número c de nabos.
b - 6b/7 - 1/7 = c
7b/7 - 6b/7 - 1/7 = 7c/7
7b - 6b - 1 = 7c
b - 7c = 1
Na 3ª hora, foram vendidos 6c/7, mais 1/7 de um nabo, restando agora uma quantia d de nabos.
c - 6c/7 - 1/7 = d
c - 7d = 1
Por último, na 4ª hora, Zeca vendeu 6d/7, mais 1/7 de um nabo, restando finalmente nabo algum (zero nabos).
d - 6d/7 - 1/7 = 0
7d - 6d - 1 = 0
d = 1
Fazendo as substituições de baixo para cima, vem:
c - 7.1 = 1
c = 8
b - 7.8 = 1
b = 57
a - 7.57 = 1
a = 399 + 1
a = 400 nabos
Portanto, Zeca levou ao mercado 400 nabos.
quarta-feira, 18 de julho de 2012
Alice no país das maravilhas
"No país das maravilhas, havia um caminho com 3 poços do desejo. Alice precisava passar por este caminho, mas isso só era possível se ela pudesse fazer, pelo menos, um pedido a cada poço. Para fazer um desejo, era necessário dar ao poço R$ 13,50, mas ela não possuía dinheiro suficiente. Como Alice era extremamente perspicaz, planejou uma estratégia para conseguir seu objetivo. Dirigiu-se ao primeiro poço e negociou: "Poço dos desejos, dobre meu dinheiro e te pagarei R$ 15,20". Tendo seu pedido aceito, Alice pagou o valor prometido e seguiu adiante, fazendo a mesma proposta ao segundo e terceiro poços, sendo assim atendida e pagando também o mesmo valor prometido a cada um. Assim, Alice teve seus desejos atendidos e passou pelo caminho. Se, quando saiu do último poço, Alice não possuía mais dinheiro nenhum, qual o produto de todos os números, diferente de zero, da quantia que Alice possuía antes de fazer a proposta ao primeiro poço? Quanto ela possuía?"
Resolução:
Designemos por a a quantia inicial de Alice (antes de fazer o pedido ao 1º poço).
De acordo com o problema, o poço dobrou o dinheiro de Alice, ela pagou R$ 15,20 e ficou com uma quantia b, dirigindo-se então ao 2º poço.
2a - 15,2 = b (1)
O 2º poço também dobrou o dinheiro de Alice (que era, agora, igual a b), ela pagou os R$ 15,20 e ficou com uma quantia c, com a qual se encaminhou em direção ao 3º e último poço.
2b - 15,2 = c (2)
Tendo chegado ao 3º poço, o mesmo dobrou-lhe o dinheiro (que, agora, era igual a c), ela lhe deu os R$ 15,20 e ficou sem dinheiro algum (mas conseguiu, enfim, passar pelo caminho desejado!).
2c - 15,2 = 0 (3)
Eis um tipo de problema que se resolve de trás para frente.
Primeiro, resolveremos a equação (3), encontrando o valor de c. Depois, vamos à equação (2), onde substituiremos o valor de c encontrado anteriormente, para acharmos b. Por fim, substituímos o valor de b na equação (1) e encontramos o valor de a. Assim temos:
2c = 15,2
c = 15,2 /2
c = 7,6
2b - 15,2 = 7,6
2b = 15,2 + 7,6
b = 22,8 /2
b = 11,4
2a - 15,2 = 11,4
2a = 15,2 + 11,4
a = 26,6 /2
a = 13,30
Assim, concluímos que o produto dos algarismos (diferentes de zero) da quantia inicial de Alice é igual a 1 x 3 x 3 = 9, e o valor desse quantia é de R$ 13,30.
Resolução:
Designemos por a a quantia inicial de Alice (antes de fazer o pedido ao 1º poço).
De acordo com o problema, o poço dobrou o dinheiro de Alice, ela pagou R$ 15,20 e ficou com uma quantia b, dirigindo-se então ao 2º poço.
2a - 15,2 = b (1)
O 2º poço também dobrou o dinheiro de Alice (que era, agora, igual a b), ela pagou os R$ 15,20 e ficou com uma quantia c, com a qual se encaminhou em direção ao 3º e último poço.
2b - 15,2 = c (2)
Tendo chegado ao 3º poço, o mesmo dobrou-lhe o dinheiro (que, agora, era igual a c), ela lhe deu os R$ 15,20 e ficou sem dinheiro algum (mas conseguiu, enfim, passar pelo caminho desejado!).
2c - 15,2 = 0 (3)
Eis um tipo de problema que se resolve de trás para frente.
Primeiro, resolveremos a equação (3), encontrando o valor de c. Depois, vamos à equação (2), onde substituiremos o valor de c encontrado anteriormente, para acharmos b. Por fim, substituímos o valor de b na equação (1) e encontramos o valor de a. Assim temos:
2c = 15,2
c = 15,2 /2
c = 7,6
2b - 15,2 = 7,6
2b = 15,2 + 7,6
b = 22,8 /2
b = 11,4
2a - 15,2 = 11,4
2a = 15,2 + 11,4
a = 26,6 /2
a = 13,30
Assim, concluímos que o produto dos algarismos (diferentes de zero) da quantia inicial de Alice é igual a 1 x 3 x 3 = 9, e o valor desse quantia é de R$ 13,30.
terça-feira, 17 de julho de 2012
Curiosidade sobre o Problema das Pérolas do Rajá
O problema pode ser facilmente resolvido com auxílio da Álgebra Elementar. O número x de pérolas é dado pela fórmula:
x = (n - 1)²
E, nesse caso, a primeira herdeira retiraria, da herança, uma pérola e 1/n do que restasse; a 2ª herdeira retiraria duas pérolas e 1/n do que restasse. E assim por diante.
O número de herdeiros é n - 1.
Beremiz resolveu o problema para o caso em que n era igual a 7.
Entretanto, poderíamos alterar a fração do problema original e a resolução geral dada acima continuaria valendo. O número de pérolas continuaria sendo x = (n - 1)² e o número de filhas y = n - 1, donde n é o denominador da fração dada no problema.
Para chegarmos à fórmula da resolução geral, podemos utilizar raciocínio análogo ao que usamos para resolver o problema. Vejamos.
x é o número total de pérolas e y é o número total de herdeiras.
Pelas condições do problema, temos que:
A filha nº 1 (mais velha) recebe ---> 1 pérola + 1/n do resto
A filha nº 2 recebe ----------------> 2 pérolas + 1/n do resto
...
A filha nº y recebe ----------------> y pérolas
Assim, escrevemos que:
x = y² (1)
y = 1 + (x-1)/n
y - 1 = (x-1)/n
n.(y - 1) = x - 1
ny - n - x + 1 = 0 (2)
Substituindo (1) em (2), vem:
ny - n - y² + 1 = 0
y² - ny + n - 1 = 0
a = 1 Δ = b² - 4.a.c
b = -n Δ = (- n)² - 4.(1).(n - 1)
c = n - 1 Δ = n² - 4.(n - 1)
Δ = n² - 4n + 4
Δ = (n - 2)²
y = [-b ± √Δ] /2a
y = [- (-n) ± √(n-2)²] /2.(1)
y = [n ± (n - 2)] /2
y' = n - 1y'' = 1
Portanto, chegamos em:
y = n - 1 filhas
x = (n - 1)² pérolas
x = (n - 1)²
E, nesse caso, a primeira herdeira retiraria, da herança, uma pérola e 1/n do que restasse; a 2ª herdeira retiraria duas pérolas e 1/n do que restasse. E assim por diante.
O número de herdeiros é n - 1.
Beremiz resolveu o problema para o caso em que n era igual a 7.
Entretanto, poderíamos alterar a fração do problema original e a resolução geral dada acima continuaria valendo. O número de pérolas continuaria sendo x = (n - 1)² e o número de filhas y = n - 1, donde n é o denominador da fração dada no problema.
Para chegarmos à fórmula da resolução geral, podemos utilizar raciocínio análogo ao que usamos para resolver o problema. Vejamos.
x é o número total de pérolas e y é o número total de herdeiras.
Pelas condições do problema, temos que:
A filha nº 1 (mais velha) recebe ---> 1 pérola + 1/n do resto
A filha nº 2 recebe ----------------> 2 pérolas + 1/n do resto
...
A filha nº y recebe ----------------> y pérolas
Assim, escrevemos que:
x = y² (1)
y = 1 + (x-1)/n
y - 1 = (x-1)/n
n.(y - 1) = x - 1
ny - n - x + 1 = 0 (2)
Substituindo (1) em (2), vem:
ny - n - y² + 1 = 0
y² - ny + n - 1 = 0
a = 1 Δ = b² - 4.a.c
b = -n Δ = (- n)² - 4.(1).(n - 1)
c = n - 1 Δ = n² - 4.(n - 1)
Δ = n² - 4n + 4
Δ = (n - 2)²
y = [-b ± √Δ] /2a
y = [- (-n) ± √(n-2)²] /2.(1)
y = [n ± (n - 2)] /2
y' = n - 1y''
Portanto, chegamos em:
y = n - 1 filhas
x = (n - 1)² pérolas
As pérolas do rajá
Mais um problema interessante da coletânea de Malba Tahan:
(...) Beremiz, para atender à curiosidade do marajá, tomou da palavra e discorreu sobre o problema que interessava ao príncipe. E, no seu falar lento e seguro, disse o seguinte:
- Trata-se menos de um problema do que de mera curiosidade aritmética. É o seguinte o seu enunciado:
"Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente.
As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que, por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
O juiz que - reza a tradição - era hábil na resolução do problema, respondeu prontamente que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita.
E tinha razão. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas."
- Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas as filhas do rajá?
Vejamos uma forma de resolvê-lo.
Designemos por x o número de pérolas do rajá e por y o número de suas filhas.
Pelo sistema de partilha do problema, temos:
A filha nº 1 (mais velha) recebe -----> 1 pérola + 1/7 do resto
A filha nº 2 recebe -----------------> 2 pérolas + 1/7 do resto
A filha nº 3 recebe -----------------> 3 pérolas + 1/7 do resto
...
A filha nº y recebe -----------------> y pérolas
Como cada filha recebe uma mesma quantia de pérolas, segue que todas elas ganham y pérolas, e podemos escrever:
x = y² (1)
y = 1 + (x-1)/7
y - 1 = (x-1)/7
7.(y - 1) = x - 1
7y - 7 = x - 1
7y - x = 6 (2)
Substituindo a equação (1) em (2), obtemos:
7y - y² = 6
y² - 7y + 6 = 0
Soma = 7
Produto = 6
y' = 1
y'' = 6
Descartamos y' = 1 porque, pelo próprio enunciado do problema, não há apenas uma filha (até porque, se houvesse somente uma, nada do problema faria sentido). Assim, temos que:
y = 6 filhas , e:
x = 6² ---> x = 36 pérolas
De fato, as pérolas eram em número de 36 e deviam ser repartidas por 6 pessoas.
A primeira tirou uma pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30.
A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24.
A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou, portanto, 6 - deixando 18 de resto.
A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 e mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2. Recebeu, também, 6 pérolas.
A quinta encontrou 12 pérolas; dessas 12 tirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo, tirou 6.
A filha mais moça recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.
(...) Beremiz, para atender à curiosidade do marajá, tomou da palavra e discorreu sobre o problema que interessava ao príncipe. E, no seu falar lento e seguro, disse o seguinte:
- Trata-se menos de um problema do que de mera curiosidade aritmética. É o seguinte o seu enunciado:
"Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente.
As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que, por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
O juiz que - reza a tradição - era hábil na resolução do problema, respondeu prontamente que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita.
E tinha razão. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas."
- Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas as filhas do rajá?
Vejamos uma forma de resolvê-lo.
Designemos por x o número de pérolas do rajá e por y o número de suas filhas.
Pelo sistema de partilha do problema, temos:
A filha nº 1 (mais velha) recebe -----> 1 pérola + 1/7 do resto
A filha nº 2 recebe -----------------> 2 pérolas + 1/7 do resto
A filha nº 3 recebe -----------------> 3 pérolas + 1/7 do resto
...
A filha nº y recebe -----------------> y pérolas
Como cada filha recebe uma mesma quantia de pérolas, segue que todas elas ganham y pérolas, e podemos escrever:
x = y² (1)
y = 1 + (x-1)/7
y - 1 = (x-1)/7
7.(y - 1) = x - 1
7y - 7 = x - 1
7y - x = 6 (2)
Substituindo a equação (1) em (2), obtemos:
7y - y² = 6
y² - 7y + 6 = 0
Soma = 7
Produto = 6
y'' = 6
Descartamos y' = 1 porque, pelo próprio enunciado do problema, não há apenas uma filha (até porque, se houvesse somente uma, nada do problema faria sentido). Assim, temos que:
y = 6 filhas , e:
x = 6² ---> x = 36 pérolas
De fato, as pérolas eram em número de 36 e deviam ser repartidas por 6 pessoas.
A primeira tirou uma pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30.
A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24.
A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou, portanto, 6 - deixando 18 de resto.
A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 e mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2. Recebeu, também, 6 pérolas.
A quinta encontrou 12 pérolas; dessas 12 tirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo, tirou 6.
A filha mais moça recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.
Cálculo curioso
Pegue uma calculadora e digite um número de três algarismos - digamos, 259. Repita-o, obtendo 259.259. Agora divida esse número por 7, divida o resultado por 11 e divida o resultado por 13. Neste caso, temos:
259.259 /7 = 37.037
37.037 /11 = 3.367
3.367 /13 = 259
Que é o primeiro número no qual pensamos inicialmente!
Tente o mesmo com outros números de 3 algarismos - você vai ver que o truque nunca falha.
Entretanto, é como disse Aristóteles: "A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos". Portanto, a matemática não consiste apenas em notarmos propriedades curiosas. Também é importante descobrirmos por que elas acontecem. Neste caso, isso pode ser feito realizando-se o cálculo de trás para frente, fazendo as "operações inversas". A operação inversa da divisão é a multiplicação, portanto - como você poderá verificar -, o procedimento inverso começa com o resultado de 3 algarismos, 259, e gera
259 x 13 = 3.367
3.367 x 11 = 37.037
37.037 x 7 = 259.259
Vista assim, a inversão não parece incrivelmente útil... mas o que ela nos diz é que
259 x 13 x 11 x 7 = 259.259
Portanto, pode ser uma boa ideia descobrir quanto é 13 x 11 x 7.
Calculando, obtemos: 13 x 11 x 7 = 1.001
Assim, encontramos que
259 x 1.001 = 259.259
Será que isso vale sempre? Será que todo número multiplicado por 1.001 resulta ele próprio repetido?
Sim, e pode ser verificado esquematicamente da seguinte forma:
Consideremos um número de 3 algarismos quaisquer abc. Multiplicando-o por 1.001, temos:
abc x 1.001 = abc x (1.000 + 1) = abc000 + abc = abc.abc
Isso explica o truque, mostrando que a propriedade é válida qualquer que seja o número de 3 algarismos (os algarismos, obviamente, podem ser iguais).
Obs.: 13 x 11 x 7 é a decomposição em fatores primos do número 1.001
259.259 /7 = 37.037
37.037 /11 = 3.367
3.367 /13 = 259
Que é o primeiro número no qual pensamos inicialmente!
Tente o mesmo com outros números de 3 algarismos - você vai ver que o truque nunca falha.
Entretanto, é como disse Aristóteles: "A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos". Portanto, a matemática não consiste apenas em notarmos propriedades curiosas. Também é importante descobrirmos por que elas acontecem. Neste caso, isso pode ser feito realizando-se o cálculo de trás para frente, fazendo as "operações inversas". A operação inversa da divisão é a multiplicação, portanto - como você poderá verificar -, o procedimento inverso começa com o resultado de 3 algarismos, 259, e gera
259 x 13 = 3.367
3.367 x 11 = 37.037
37.037 x 7 = 259.259
Vista assim, a inversão não parece incrivelmente útil... mas o que ela nos diz é que
259 x 13 x 11 x 7 = 259.259
Portanto, pode ser uma boa ideia descobrir quanto é 13 x 11 x 7.
Calculando, obtemos: 13 x 11 x 7 = 1.001
Assim, encontramos que
259 x 1.001 = 259.259
Será que isso vale sempre? Será que todo número multiplicado por 1.001 resulta ele próprio repetido?
Sim, e pode ser verificado esquematicamente da seguinte forma:
Consideremos um número de 3 algarismos quaisquer abc. Multiplicando-o por 1.001, temos:
abc x 1.001 = abc x (1.000 + 1) = abc000 + abc = abc.abc
Isso explica o truque, mostrando que a propriedade é válida qualquer que seja o número de 3 algarismos (os algarismos, obviamente, podem ser iguais).
Obs.: 13 x 11 x 7 é a decomposição em fatores primos do número 1.001
Problema dos 60 melões - continuação
Continuação...
- O vequil não tem razão alguma - acudiu Beremiz - e deve ser obrigado a pagar a aposta. A diferença a que chegou o vendedor resultou do seguinte:
A partida de Harim compunha-se de 10 lotes de 3 melões cada um. Cada lote devia ser vendido por 1 dinar. O total da venda seria de 10 dinares.
A partida de Hamed compunha-se de 15 lotes (com 2 melões cada um) que, vendido a 1 dinar cada lote, dariam o total de 15 dinares.
Reparem que o número de lotes de uma partida não é igual ao número de lotes da outra (De fato, uma partida é composta de 10 lotes, enquanto a outra, de 15 lotes).
Para vender os melões em lotes de cinco cada, só os 10 primeiros lotes poderiam ser vendidos à razão de 5 por 2 dinares (pois estariam inclusos, aqui, os 10 lotes de 3 melões cada que cabem a Harim + 10 dos 15 lotes de 2 melões cada pertencentes a Hamed); vendidos esses 10 lotes ( de 5 por 2), restam ainda 10 melões que pertencem exclusivamente à partida de Hamed e que, sendo de preço mais elevado, deveriam ser vendidos à razão de 2 por 1 dinar (fechando, dessa forma, os 5 lotes que restavam a Hamed Namir).
A diferença de um resultou, pois, da venda dos 10 últimos melões! Não houve roubo algum! Da desigualdade de preço entre as partilhas resultou o prejuízo de 1 dinar, que se verificou no resultado final.
Nesse problema, portanto, é interessante notar que, ao vender todos os 60 melões em 12 lotes de 5 melões cada (custando 2 dinares cada lote), o mercador está vendendo, na verdade:
- 12 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote);
- mais 12 lotes de 2 melões cada (custando 1 dinar cada lote).
Entretanto, convém lembrar que deveriam ser vendidos apenas 10 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote), compondo - dessa forma - os 30 melões pertinentes ao irmão Harim.
Ao vendermos os melões da forma que o mercador fez, estamos acrescentando 2 lotes a Harim (2 dinares) e retirando 3 lotes de Hamed (3 dinares), donde surge a diferença de 2 - 3 = - 1 dinar na somatória final.
Em outras palavras, o que o mercador acabou fazendo - por engano - foi tirar 6 melões da partida da Hamed (que constituíam 3 dos seus 15 lotes) e colocá-los na partida de Harim, sob a forma de 2 lotes com 3 melões cada.
- O vequil não tem razão alguma - acudiu Beremiz - e deve ser obrigado a pagar a aposta. A diferença a que chegou o vendedor resultou do seguinte:
A partida de Harim compunha-se de 10 lotes de 3 melões cada um. Cada lote devia ser vendido por 1 dinar. O total da venda seria de 10 dinares.
A partida de Hamed compunha-se de 15 lotes (com 2 melões cada um) que, vendido a 1 dinar cada lote, dariam o total de 15 dinares.
Reparem que o número de lotes de uma partida não é igual ao número de lotes da outra (De fato, uma partida é composta de 10 lotes, enquanto a outra, de 15 lotes).
Para vender os melões em lotes de cinco cada, só os 10 primeiros lotes poderiam ser vendidos à razão de 5 por 2 dinares (pois estariam inclusos, aqui, os 10 lotes de 3 melões cada que cabem a Harim + 10 dos 15 lotes de 2 melões cada pertencentes a Hamed); vendidos esses 10 lotes ( de 5 por 2), restam ainda 10 melões que pertencem exclusivamente à partida de Hamed e que, sendo de preço mais elevado, deveriam ser vendidos à razão de 2 por 1 dinar (fechando, dessa forma, os 5 lotes que restavam a Hamed Namir).
A diferença de um resultou, pois, da venda dos 10 últimos melões! Não houve roubo algum! Da desigualdade de preço entre as partilhas resultou o prejuízo de 1 dinar, que se verificou no resultado final.
Nesse problema, portanto, é interessante notar que, ao vender todos os 60 melões em 12 lotes de 5 melões cada (custando 2 dinares cada lote), o mercador está vendendo, na verdade:
- 12 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote);
- mais 12 lotes de 2 melões cada (custando 1 dinar cada lote).
Entretanto, convém lembrar que deveriam ser vendidos apenas 10 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote), compondo - dessa forma - os 30 melões pertinentes ao irmão Harim.
Ao vendermos os melões da forma que o mercador fez, estamos acrescentando 2 lotes a Harim (2 dinares) e retirando 3 lotes de Hamed (3 dinares), donde surge a diferença de 2 - 3 = - 1 dinar na somatória final.
Em outras palavras, o que o mercador acabou fazendo - por engano - foi tirar 6 melões da partida da Hamed (que constituíam 3 dos seus 15 lotes) e colocá-los na partida de Harim, sob a forma de 2 lotes com 3 melões cada.
O problema dos 60 melões
Aqui vai uma de "O homem que calculava", em que Beremiz esclarece o problema dos 60 melões:
(...) - Harim Namir!
O jovem voltou rápido o rosto e encaminhou-se alegre ao nosso encontro. Verifiquei logo que se tratava de um dos três irmãos que encontráramos a discutir, certo dia, no deserto, por causa de uma herança de 35 camelos - partilha complicada, cheia de terços e nonos, que Beremiz resolveu por meio de um artifício curioso e a que já tive ocasião de aludir.
- Mac Allah! - exclamou Harim, dirigindo-se a Beremiz. - Foi o destino que mandou agora o grande calculista ao nosso encontro. Meu irmão Hamed acha-se atrapalhado com uma conta de 60 melões que ninguém sabe resolver.
E Harim levou-nos até uma pequena casa, onde se achava o seu irmão Hamed Namir em companhia de vários mercadores.
Mostrou-se Hamed muito satisfeito ao ver Beremiz e, voltando-se para os mercadores, disse-lhes:
- Este homem que acaba de chegar é um grande matemático. Graças ao seu valioso auxílio já conseguimos obter a solução perfeita de um problema que nos parecia impossível: dividir 35 camelos por três pessoas! Estou certo de que ele poderá explicar, em poucos minutos, a diferença encontrada na venda dos 60 melões.
Era preciso que Beremiz fosse minuciosamente informado do caso. Um dos mercadores tomou a palavra e narrou o seguinte:
- Os dois irmãos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de melões. Harim entregou-me 30 melões, que deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 dinar; Hamed entregou-me, também, 30 melões para os quais estipulou preço mais cara, isto é, à razão de 2 por 1 dinar. Era claro que, efetuada a venda, Harim devia receber 10 e seu irmão 15 dinares. O total de venda seria, portanto, de 25 dinares.
Ao chegar, porém, à feira, uma dúvida surgiu-me no espírito.
Se eu começar a venda pelos melões mais caros, pensei, perderei a freguesia; se iniciar o negócio pelos melões mais baratos, encontrarei, depois, dificuldade em vender os outros trinta. O melhor que tenho a fazer (a única solução para o caso) é vender as duas partidas ao mesmo tempo.
Tendo chegado a essa conclusão reuni os 60 melões e comecei a vendê-los aos grupos de 5 por 2 dinares. O negócio era justificado por um raciocínio muito simples:
- Se eu devia vender 3 por 1 e depois 2 também por 1 dinar, seria mais simples vender, logo, 5 por 2 dinares.
Vendidos os 60 melões em 12 lotes de cinco cada um, apurei 24 dinares.
Como pagar aos dois irmãos, se o primeiro devia receber 10 e o segundo, 15 dinares?
Havia uma diferença de 1 dinar; não sei como explicar, pois o negócio foi feito, como disse, com o máximo cuidado.
Vender 3 por 1 dinar e, depois, vender 2 por 1 não é a mesma coisa que vender logo 5 por 2 dinares?
- O caso não teria, afinal, importância alguma - interveio Hamed Namir - se não fosse a intervenção absurda do vequil (Intendente. Encarregado da administração de um bairro) que superintende a feira. Esse vequil, ouvindo sobre o caso, não soube explicar a diferença na conta, e apostou 5 dinares como essa diferença era proveniente de falta de um melão que fora roubado por ocasião da venda. (...)
continua...
(...) - Harim Namir!
O jovem voltou rápido o rosto e encaminhou-se alegre ao nosso encontro. Verifiquei logo que se tratava de um dos três irmãos que encontráramos a discutir, certo dia, no deserto, por causa de uma herança de 35 camelos - partilha complicada, cheia de terços e nonos, que Beremiz resolveu por meio de um artifício curioso e a que já tive ocasião de aludir.
- Mac Allah! - exclamou Harim, dirigindo-se a Beremiz. - Foi o destino que mandou agora o grande calculista ao nosso encontro. Meu irmão Hamed acha-se atrapalhado com uma conta de 60 melões que ninguém sabe resolver.
E Harim levou-nos até uma pequena casa, onde se achava o seu irmão Hamed Namir em companhia de vários mercadores.
Mostrou-se Hamed muito satisfeito ao ver Beremiz e, voltando-se para os mercadores, disse-lhes:
- Este homem que acaba de chegar é um grande matemático. Graças ao seu valioso auxílio já conseguimos obter a solução perfeita de um problema que nos parecia impossível: dividir 35 camelos por três pessoas! Estou certo de que ele poderá explicar, em poucos minutos, a diferença encontrada na venda dos 60 melões.
Era preciso que Beremiz fosse minuciosamente informado do caso. Um dos mercadores tomou a palavra e narrou o seguinte:
- Os dois irmãos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de melões. Harim entregou-me 30 melões, que deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 dinar; Hamed entregou-me, também, 30 melões para os quais estipulou preço mais cara, isto é, à razão de 2 por 1 dinar. Era claro que, efetuada a venda, Harim devia receber 10 e seu irmão 15 dinares. O total de venda seria, portanto, de 25 dinares.
Ao chegar, porém, à feira, uma dúvida surgiu-me no espírito.
Se eu começar a venda pelos melões mais caros, pensei, perderei a freguesia; se iniciar o negócio pelos melões mais baratos, encontrarei, depois, dificuldade em vender os outros trinta. O melhor que tenho a fazer (a única solução para o caso) é vender as duas partidas ao mesmo tempo.
Tendo chegado a essa conclusão reuni os 60 melões e comecei a vendê-los aos grupos de 5 por 2 dinares. O negócio era justificado por um raciocínio muito simples:
- Se eu devia vender 3 por 1 e depois 2 também por 1 dinar, seria mais simples vender, logo, 5 por 2 dinares.
Vendidos os 60 melões em 12 lotes de cinco cada um, apurei 24 dinares.
Como pagar aos dois irmãos, se o primeiro devia receber 10 e o segundo, 15 dinares?
Havia uma diferença de 1 dinar; não sei como explicar, pois o negócio foi feito, como disse, com o máximo cuidado.
Vender 3 por 1 dinar e, depois, vender 2 por 1 não é a mesma coisa que vender logo 5 por 2 dinares?
- O caso não teria, afinal, importância alguma - interveio Hamed Namir - se não fosse a intervenção absurda do vequil (Intendente. Encarregado da administração de um bairro) que superintende a feira. Esse vequil, ouvindo sobre o caso, não soube explicar a diferença na conta, e apostou 5 dinares como essa diferença era proveniente de falta de um melão que fora roubado por ocasião da venda. (...)
continua...
Saudações e dedicatória
Olá! Meu nome é Adir Matos, tenho 17 anos e adoro tudo (ou quase) relacionado à ciência dos números.
Minha paixão pela Matemática aflorou quando entrei no primeiro ano do Ensino Médio e tive contato com a "literatura" da área... pra ser mais preciso: "O homem que calculava", obra de Malba Tahan (pseudônimo do célebre professor de matemática Júlio César de Mello e Souza), que conta as proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir e que se tornaram lendárias na antiga Arábia.
Não foi à toa que a maestria de Beremiz com os números encantou reis, sábios, poetas e xeques... comigo ocorreu exatamente o mesmo. O homem que calculava me fez redescobrir essa fantástica ciência, fazendo-a muitas vezes parecer "mágica" (o que justifica o título do blog). Com certeza, não faltarão oportunidades de apresentar aqui os prodigiosos feitos de Beremiz Samir.
À todos - professores, estudantes, curiosos... - que, como eu, admiram e respeitam essa louvável ciência,
este blog é dedicado!
Minha paixão pela Matemática aflorou quando entrei no primeiro ano do Ensino Médio e tive contato com a "literatura" da área... pra ser mais preciso: "O homem que calculava", obra de Malba Tahan (pseudônimo do célebre professor de matemática Júlio César de Mello e Souza), que conta as proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir e que se tornaram lendárias na antiga Arábia.
Não foi à toa que a maestria de Beremiz com os números encantou reis, sábios, poetas e xeques... comigo ocorreu exatamente o mesmo. O homem que calculava me fez redescobrir essa fantástica ciência, fazendo-a muitas vezes parecer "mágica" (o que justifica o título do blog). Com certeza, não faltarão oportunidades de apresentar aqui os prodigiosos feitos de Beremiz Samir.
À todos - professores, estudantes, curiosos... - que, como eu, admiram e respeitam essa louvável ciência,
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