Quanto tempo?

Abaixo, uma versão avançada dos problemas de piscina e torneiras, envolvendo cálculo de tempo:

"Uma piscina se enche de água com a ajuda de duas torneiras. Inicialmente, a primeira torneira permaneceu aberta uma terça parte do tempo necessário para encher a piscina valendo-se somente da segunda torneira. A seguir, a segunda torneira, ao contrário, permaneceu aberta uma terça parte do tempo exigido para que apenas a primeira torneira encha a piscina. Feito isso, a piscina foi preenchida até os 13/18 de sua capacidade.
Se, mantendo abertas ambas as torneiras ao mesmo tempo a piscina se enche em 3 horas 36 minutos, calcule o tempo necessário para enchê-la, fazendo uso de cada torneira separadamente."

Solução:
Suponhamos que as capacidades das torneiras sejam q₁ e q₂ (em litros/min). Assim, a primeira torneira derrama q₁ litros d'água em cada 1 min, e a segunda, q₂ litros em cada 1 min.
Suponhamos, também, que o volume total da piscina seja v (em litros).
Assim, os tempos que cada uma das torneiras leva para encher a piscina separadamente são (em min):

t_{1 =} v/q_{1 ,}    t_{2 =} v/q_{2          (1)}
Através da primeira condição do problema, chegamos à seguinte equação (o símbolo * indica multiplicação):

q₁*(1/3)*t₂ + q₂*(1/3)*t₁ = (13/18)*v
(1/3)*(q₁t₂ + q₂t₁) = (13/18)*v
q₁t₂ + q₂t₁ = (13/6)*v
Usando os valores de t₁ e t₂ da equação (1) e substituindo-os na relação acima, chegamos em:

q₁*(v/q₂) + q₂*(v/q₁) = (13/6)*v
v*(q₁/q₂ + q₂/q₁) = (13/6)*vq₁/q₂ + q₂/q₁ = 13/6

Multiplicando ambos os membros da equação por q₂/q₁ chegamos à seguinte equação de 2º grau:

(q₂/q₁)² - (13/6)*(q₂/q₁) + 1 = 0

cujas raízes são q₂/q₁ = 3/2 , e q₂/q₁ = 2/3.

Agora, através da segunda condição do problema, escrevemos a equação:

v = (3*60 + 36)*(q₁ + q₂) = 216*(q₁ + q₂)

Usando a relação acima na equação (1), temos:

t₁ = 216*(q₁ + q₂) / q₁t₂ = 216*(q₁ + q₂) / q₂
Agora, basta desenvolver o finalzinho do cálculo e "partir pro abraço". Vejamos:

t₁ = 216*(1 + q₂/q₁) = 216*(1 + 3/2) = 540 min (9 horas)
t₂ = 216*(q₁/q₂ + 1) = 216*(2/3 + 1) = 360 min (6 horas)

Há, evidentemente, uma segunda solução (não foi estipulada qual das torneiras é a "mais lenta"):

t₁ = 6 horas ,    t₂ = 9 horas 

Resposta: Portanto, uma das torneiras leva 6 horas para encher sozinha a piscina, enquanto que a outra leva 9 horas.