Relação de inclusão e implicação lógica

Vimos que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. De forma geral, se um conjunto A, cujos elementos possuem uma propriedade p está contido em um conjunto B, cujos elementos possuem uma propriedade q, dizemos que todos os elementos de A são também elementos do conjunto B. Dessa forma, é correto dizermos que cada um dos elementos de A possui a propriedade q, característica dos elementos que formam o conjunto B. Daí, surge a seguinte notação:

p ⇒ q (lê-se: p implica q ou p acarreta q)

Vejamos um exemplo:

Vamos considerar dois conjuntos, A e B, em que:

A = {x | x é natural}

B = {x | x é racional}

Designemos por p e q as propriedades dos conjuntos A e B, respectivamente. Assim, temos:

p: x é natural
q: x é racional

podemos, assim, escrever a implicação lógica:

p ⇒ q , pois de fato:

"Se x é um número natural, então x é um número racional."
"Ser um número natural implica ser um número racional."

Concluindo, então, podemos escrever:

Seja A o conjunto dos elementos de um certo universo U que possuem a propriedade p, e B o conjunto dos elementos desse mesmo universo que possuem a propriedade q. Quando dizemos que:

p ⇒ q

estamos dizendo que A ⊂ B.

A implicação p ⇒ q também pode ser lida assim:

- se p, então q;
- p é condição suficiente para q;
- q é condição necessária para p.

 De fato, no exemplo anterior, podemos escrever:

"Ser número natural é condição suficiente para ser número racional." ou ainda:
"Ser número racional é condição necessária para ser número natural."

Mais um exemplo:

No universo dos números naturais, vamos considerar as propriedades:

- p: n é um número natural que termina com 3;
- q: n é um número natural ímpar.

Então A = {3, 13, 23, 33, 43, ...},
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} e  p ⇒ q ou A ⊂ B.