As pérolas do rajá

Mais um problema interessante da coletânea de Malba Tahan:

      (...) Beremiz, para atender à curiosidade do marajá, tomou da palavra e discorreu sobre o problema que interessava ao príncipe. E, no seu falar lento e seguro, disse o seguinte:
      - Trata-se menos de um problema do que de mera curiosidade aritmética. É o seguinte o seu enunciado:
      "Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente.
      As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que, por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
      O juiz que - reza a tradição - era hábil na resolução do problema, respondeu prontamente que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita.
      E tinha razão. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas."
      - Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas as filhas do rajá?

Vejamos uma forma de resolvê-lo.
Designemos por x o número de pérolas do rajá e por y o número de suas filhas.

Pelo sistema de partilha do problema, temos:

A filha nº 1 (mais velha) recebe -----> 1 pérola + 1/7 do resto
A filha nº 2 recebe -----------------> 2 pérolas + 1/7 do resto
A filha nº 3 recebe -----------------> 3 pérolas + 1/7 do resto
...
A filha nº y recebe -----------------> y pérolas

Como cada filha recebe uma mesma quantia de pérolas, segue que todas elas ganham y pérolas, e podemos escrever:

x = y²                                 (1)

y = 1 + (x-1)/7
y - 1 = (x-1)/7
7.(y - 1) = x - 1
7y - 7 = x - 1
7y - x = 6                           (2)

Substituindo a equação (1) em (2), obtemos:

7y - y² = 6
y² - 7y + 6 = 0

Soma = 7
Produto = 6

y' = 1
y'' = 6

Descartamos y' = 1 porque, pelo próprio enunciado do problema, não há apenas uma filha (até porque, se houvesse somente uma, nada do problema faria sentido). Assim, temos que:

y = 6 filhas , e:
x = 6² ---> x = 36 pérolas

      De fato, as pérolas eram em número de 36 e deviam ser repartidas por 6 pessoas.
      A primeira tirou uma pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30.
      A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24.
      A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou, portanto, 6 - deixando 18 de resto.
      A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 e mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2. Recebeu, também, 6 pérolas.
      A quinta encontrou 12 pérolas; dessas 12 tirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo, tirou 6.
      A filha mais moça recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.

Cálculo curioso

Pegue uma calculadora e digite um número de três algarismos - digamos, 259. Repita-o, obtendo 259.259. Agora divida esse número por 7, divida o resultado por 11 e divida o resultado por 13. Neste caso, temos:

259.259 /7 = 37.037
37.037 /11 = 3.367
3.367 /13 = 259

Que é o primeiro número no qual pensamos inicialmente!
      Tente o mesmo com outros números de 3 algarismos - você vai ver que o truque nunca falha.
      Entretanto, é como disse Aristóteles: "A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos". Portanto, a matemática não consiste apenas em notarmos propriedades curiosas. Também é importante descobrirmos por que elas acontecem. Neste caso, isso pode ser feito realizando-se o cálculo de trás para frente, fazendo as "operações inversas". A operação inversa da divisão é a multiplicação, portanto - como você poderá verificar -, o procedimento inverso começa com o resultado de 3 algarismos, 259, e gera

259 x 13 = 3.367
3.367 x 11 = 37.037
37.037 x 7 = 259.259

Vista assim, a inversão não parece incrivelmente útil... mas o que ela nos diz é que

259 x 13 x 11 x 7 = 259.259

Portanto, pode ser uma boa ideia descobrir quanto é 13 x 11 x 7.
Calculando, obtemos: 13 x 11 x 7 =  1.001

Assim, encontramos que

259 x 1.001 = 259.259

Será que isso vale sempre? Será que todo número multiplicado por 1.001 resulta ele próprio repetido?
Sim, e pode ser verificado esquematicamente da seguinte forma:

Consideremos um número de 3 algarismos quaisquer abc. Multiplicando-o por 1.001, temos:

abc x 1.001 = abc x (1.000 + 1) = abc000 + abc = abc.abc

Isso explica o truque, mostrando que a propriedade é válida qualquer que seja o número de 3 algarismos (os algarismos, obviamente, podem ser iguais).

Obs.: 13 x 11 x 7 é a decomposição em fatores primos do número 1.001

Problema dos 60 melões - continuação

Continuação...

      - O vequil não tem razão alguma - acudiu Beremiz - e deve ser obrigado a pagar a aposta. A diferença a que chegou o vendedor resultou do seguinte:
      A partida de Harim compunha-se de 10 lotes de 3 melões cada um. Cada lote devia ser vendido por 1 dinar. O total da venda seria de 10 dinares.
      A partida de Hamed compunha-se de 15 lotes (com 2 melões cada um) que, vendido a 1 dinar cada lote, dariam o total de 15 dinares.
      Reparem que o número de lotes de uma partida não é igual ao número de lotes da outra (De fato, uma partida é composta de 10 lotes, enquanto a outra, de 15 lotes).
      Para vender os melões em lotes de cinco cada, só os 10 primeiros lotes poderiam ser vendidos à razão de 5 por 2 dinares (pois estariam inclusos, aqui, os 10 lotes de 3 melões cada que cabem a Harim + 10 dos 15 lotes de 2 melões cada pertencentes a Hamed); vendidos esses 10 lotes ( de 5 por 2), restam ainda 10 melões que pertencem exclusivamente à partida de Hamed e que, sendo de preço mais elevado, deveriam ser vendidos à razão de 2 por 1 dinar (fechando, dessa forma, os 5 lotes que restavam a Hamed Namir).
      A diferença de um resultou, pois, da venda dos 10 últimos melões! Não houve roubo algum! Da desigualdade de preço entre as partilhas resultou o prejuízo de 1 dinar, que se verificou no resultado final.

Nesse problema, portanto, é interessante notar que, ao vender todos os 60 melões em 12 lotes de 5 melões cada (custando 2 dinares cada lote), o mercador está vendendo, na verdade:

 - 12 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote);
- mais 12 lotes de 2 melões cada (custando 1 dinar cada lote).

Entretanto, convém lembrar que deveriam ser vendidos apenas 10 lotes de 3 melões cada (custando 1 dinar cada lote), compondo - dessa forma - os 30 melões pertinentes ao irmão Harim.

Ao vendermos os melões da forma que o mercador fez, estamos acrescentando 2 lotes a Harim (2 dinares) e retirando 3 lotes de Hamed (3 dinares), donde surge a diferença de 2 - 3 = - 1 dinar na somatória final.
Em outras palavras, o que o mercador acabou fazendo - por engano - foi tirar 6 melões da partida da Hamed (que constituíam 3 dos seus 15 lotes) e colocá-los na partida de Harim, sob a forma de 2 lotes com 3 melões cada.

 

O problema dos 60 melões

Aqui vai uma de "O homem que calculava", em que Beremiz esclarece o problema dos 60 melões:

(...) - Harim Namir!
      O jovem voltou rápido o rosto e encaminhou-se alegre ao nosso encontro. Verifiquei logo que se tratava de um dos três irmãos que encontráramos a discutir, certo dia, no deserto, por causa de uma herança de 35 camelos - partilha complicada, cheia de terços e nonos, que Beremiz resolveu por meio de um artifício curioso e a que já tive ocasião de aludir.
      - Mac Allah! - exclamou Harim, dirigindo-se a Beremiz. - Foi o destino que mandou agora o grande calculista ao nosso encontro. Meu irmão Hamed acha-se atrapalhado com uma conta de 60 melões que ninguém sabe resolver.
      E Harim levou-nos até uma pequena casa, onde se achava o seu irmão Hamed Namir em companhia de vários mercadores.
      Mostrou-se Hamed muito satisfeito ao ver Beremiz e, voltando-se para os mercadores, disse-lhes:
      - Este homem que acaba de chegar é um grande matemático. Graças ao seu valioso auxílio já conseguimos obter a solução perfeita de um problema que nos parecia impossível: dividir 35 camelos por três pessoas! Estou certo de que ele poderá explicar, em poucos minutos, a diferença encontrada na venda dos 60 melões.
      Era preciso que Beremiz fosse minuciosamente informado do caso. Um dos mercadores tomou a palavra e narrou o seguinte:
      - Os dois irmãos Harim e Hamed encarregaram-se de vender no mercado duas partidas de melões. Harim entregou-me 30 melões, que deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 dinar; Hamed entregou-me, também, 30 melões para os quais estipulou preço mais cara, isto é, à razão de 2 por 1 dinar. Era claro que, efetuada a venda, Harim devia receber 10 e seu irmão 15 dinares. O total de venda seria, portanto, de 25 dinares.
      Ao chegar, porém, à feira, uma dúvida surgiu-me no espírito.
      Se eu começar a venda pelos melões mais caros, pensei, perderei a freguesia; se iniciar o negócio pelos melões mais baratos, encontrarei, depois, dificuldade em vender os outros trinta. O melhor que tenho a fazer (a única solução para o caso) é vender as duas partidas ao mesmo tempo.
      Tendo chegado a essa conclusão reuni os 60 melões e comecei a vendê-los aos grupos de 5 por 2 dinares. O negócio era justificado por um raciocínio muito simples:
      - Se eu devia vender 3 por 1 e depois 2 também por 1 dinar, seria mais simples vender, logo, 5 por 2 dinares.
      Vendidos os 60 melões em 12 lotes de cinco cada um, apurei 24 dinares.
      Como pagar aos dois irmãos, se o primeiro devia receber 10 e o segundo, 15 dinares?
      Havia uma diferença de 1 dinar; não sei como explicar, pois o negócio foi feito, como disse, com o máximo cuidado.
      Vender 3 por 1 dinar e, depois, vender 2 por 1 não é a mesma coisa que vender logo 5 por 2 dinares?
      - O caso não teria, afinal, importância alguma - interveio Hamed Namir - se não fosse a intervenção absurda do vequil (Intendente. Encarregado da administração de um bairro) que superintende a feira. Esse vequil, ouvindo sobre o caso, não soube explicar a diferença na conta, e apostou 5 dinares como essa diferença era proveniente de falta de um melão que fora roubado por ocasião da venda. (...)

continua...

Saudações e dedicatória

Olá! Meu nome é Adir Matos, tenho 17 anos e adoro tudo (ou quase) relacionado à ciência dos números.

Minha paixão pela Matemática aflorou quando entrei no primeiro ano do Ensino Médio e tive contato com a "literatura" da área... pra ser mais preciso: "O homem que calculava", obra de Malba Tahan (pseudônimo do célebre professor de matemática Júlio César de Mello e Souza), que conta as proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir e que se tornaram lendárias na antiga Arábia.

Não foi à toa que a maestria de Beremiz com os números encantou reis, sábios, poetas e xeques... comigo ocorreu exatamente o mesmo. O homem que calculava me fez redescobrir essa fantástica ciência, fazendo-a muitas vezes parecer "mágica" (o que justifica o título do blog). Com certeza, não faltarão oportunidades de apresentar aqui os prodigiosos feitos de Beremiz Samir.

À todos - professores, estudantes, curiosos... - que, como eu, admiram e respeitam essa louvável ciência,
este blog é dedicado!