As pérolas do rajá

Mais um problema interessante da coletânea de Malba Tahan:

      (...) Beremiz, para atender à curiosidade do marajá, tomou da palavra e discorreu sobre o problema que interessava ao príncipe. E, no seu falar lento e seguro, disse o seguinte:
      - Trata-se menos de um problema do que de mera curiosidade aritmética. É o seguinte o seu enunciado:
      "Um rajá deixou às suas filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão se fizesse do seguinte modo: a filha mais velha tiraria 1 pérola e um sétimo do que restasse; viria, depois, a segunda e tomaria para si 2 pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem receberia 3 pérolas e um sétimo do que restasse. E assim sucessivamente.
      As filhas mais moças apresentaram queixa a um juiz, alegando que, por esse sistema complicado de partilha, elas seriam fatalmente prejudicadas.
      O juiz que - reza a tradição - era hábil na resolução do problema, respondeu prontamente que as reclamantes estavam enganadas e que a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita.
      E tinha razão. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas."
      - Pergunta-se: Qual o número de pérolas? Quantas as filhas do rajá?

Vejamos uma forma de resolvê-lo.
Designemos por x o número de pérolas do rajá e por y o número de suas filhas.

Pelo sistema de partilha do problema, temos:

A filha nº 1 (mais velha) recebe -----> 1 pérola + 1/7 do resto
A filha nº 2 recebe -----------------> 2 pérolas + 1/7 do resto
A filha nº 3 recebe -----------------> 3 pérolas + 1/7 do resto
...
A filha nº y recebe -----------------> y pérolas

Como cada filha recebe uma mesma quantia de pérolas, segue que todas elas ganham y pérolas, e podemos escrever:

x = y²                                 (1)

y = 1 + (x-1)/7
y - 1 = (x-1)/7
7.(y - 1) = x - 1
7y - 7 = x - 1
7y - x = 6                           (2)

Substituindo a equação (1) em (2), obtemos:

7y - y² = 6
y² - 7y + 6 = 0

Soma = 7
Produto = 6

y' = 1
y'' = 6

Descartamos y' = 1 porque, pelo próprio enunciado do problema, não há apenas uma filha (até porque, se houvesse somente uma, nada do problema faria sentido). Assim, temos que:

y = 6 filhas , e:
x = 6² ---> x = 36 pérolas

      De fato, as pérolas eram em número de 36 e deviam ser repartidas por 6 pessoas.
      A primeira tirou uma pérola e mais um sétimo de 35, isto é, 5; logo, tirou 6 pérolas e deixou 30.
      A segunda, das 30 que encontrou, tirou 2 mais um sétimo de 28, que é 4; logo, tirou 6 e deixou 24.
      A terceira, das 24 que encontrou, tirou 3 mais um sétimo de 21, ou 3. Tirou, portanto, 6 - deixando 18 de resto.
      A quarta, das 18 que encontrou, tirou 4 e mais um sétimo de 14. E um sétimo de 14 é 2. Recebeu, também, 6 pérolas.
      A quinta encontrou 12 pérolas; dessas 12 tirou 5 e um sétimo de 7, isto é, 1; logo, tirou 6.
      A filha mais moça recebeu, por fim, as 6 pérolas restantes.