Curiosidade sobre o Problema das Pérolas do Rajá

O problema pode ser facilmente resolvido com auxílio da Álgebra Elementar. O número x de pérolas é dado pela fórmula:

                                        x = (n - 1)²

      E, nesse caso, a primeira herdeira retiraria, da herança, uma pérola e 1/n do que restasse; a 2ª herdeira retiraria duas pérolas e 1/n do que restasse. E assim por diante.
      O número de herdeiros é n - 1.
      Beremiz resolveu o problema para o caso em que n era igual a 7.

Entretanto, poderíamos alterar a fração do problema original e a resolução geral dada acima continuaria valendo. O número de pérolas continuaria sendo x = (n - 1)² e o número de filhas y = n - 1, donde n é o denominador da fração dada no problema.
      Para chegarmos à fórmula da resolução geral, podemos utilizar raciocínio análogo ao que usamos para resolver o problema. Vejamos.

x é o número total de pérolas e y é o número total de herdeiras.
Pelas condições do problema, temos que:

A filha nº 1 (mais velha) recebe ---> 1 pérola + 1/n do resto
A filha nº 2 recebe ----------------> 2 pérolas + 1/n do resto
...
A filha nº y recebe ----------------> y pérolas

Assim, escrevemos que:

x = y²                                (1)

y = 1 + (x-1)/n
y - 1 = (x-1)/n
n.(y - 1) = x - 1
ny - n - x + 1 = 0               (2)

Substituindo (1) em (2), vem:

ny - n - y² + 1 = 0
y² - ny + n - 1 = 0

a = 1               Δ = b² - 4.a.c
b = -n             Δ = (- n)² - 4.(1).(n - 1)
c = n - 1         Δ = n² - 4.(n - 1)
                      Δ = n² - 4n + 4
                      Δ = (n - 2)²

y = [-b ± √Δ] /2a 
y = [- (-n) ± √(n-2)²] /2.(1)
y = [n ± (n - 2)] /2

y' = n - 1y'' = 1

Portanto, chegamos em:

y = n - 1 filhas
x = (n - 1)² pérolas